[WikiDyd] [TitleIndex] [WordIndex

Laboratorium Metod Numerycznych II

Zakład Elektrotechniki Teoretycznej i Informatyki Stosowanej

Instytut Elektrotechniki Teoretycznej i Systemów Informacyjno Pomiarowych, PW

Ćwiczenie Nr 1,2.3

ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ LINIOWYCH METODAMI ITERACYJNYMI

Autor: T. Markiewicz, R. Szmurło

Instrukcja do ćwiczenia

Instrukcja: cw1.doc

Na początku zajęć student zapoznaje się z funkcjami Matlaba (np. norm, eig, det, cond, tril, triu, diag, eye, inv, "A\B" itp.).

Przykładowe zadania

zajęcia pierwsze:

  1. Dla wskazanej przez prowadzącego macierzy kwadratowej 2x2 wyznaczyć analitycznie wartości własne macierzy.

  2. Wyznaczyć wartość promienia spektralnego zadanych przez prowadzącego macierzy metodą iteracji prostej (=metoda potęgowa) i określić dla nich zbieżność tej metody w zależności od właściwości macierzy i wektora startowego (Uwaga: wektor startowy musi mieć długość >0). Przykładowe macierze to mac_1, mac_2, mac_3, mac_4. Metodę iteracji prostej student implementuje samodzielnie. Należy wykreślić wykres wartości promienia spektralnego w funkcji liczby iteracji. Scharakteryzuj rozważane macierze za pomocą funkcji det, cond i eig. Wyznaczanie promienia spektralnego zapisać w postaci wzoru zgodnego z metodą.

  3. Zbadać liczbę iteracji potrzebnych do uzyskania rozwiązania ustalonego (różnica pomiędzy iteracjami na poziomie 10-5 oraz 10-6) dla wskazanych przez prowadzącego macierzy poprzez wprowadzenie kryterium stopu algorytmu. Właściwe będzie wprowadzenie skalowania wektora po każdej iteracji np. dzieląc go przez jego normę L2.

zajęcia drugie:

  1. Zaimplementować metody iteracyjne Jacobiego, Gaussa-Seidla i relaksacyjną do rozwiązywania układów równań liniowych.

    • Dla zadanych macierzy (np. mac_1) porównać zbieżność i stabilność metod (w postaci liczby iteracji koniecznej do uzyskania normy L1 lub L2 błędu (wektora residualnego) poniżej 10-4. W przypadku metody relaksacyjnej zbadać stabilność w zależności od parametru omega. Zbadać promień spektralny zgodnie z kryterium zbieżności rozważanych metod.

Przykładowe wektory startowe: zerowy, jednostkowy, jedynkowy, o wartościach całkowitych, losowy.

UWAGA! wymienione metody należy zaimplementować w postaci samodzielnych plików funkcyjnych z przekazywanymi parametrami. Przykładowe wywołania metod zapisać w osobnym pliku skryptowym Matlaba.

zajęcia trzecie:

  1. Zapoznać się z metodą gradientów sprzężonych. Porównać wyniki otrzymane tą metodą i wcześniejszymi metodami (szybkość, stabilność).
  2. Zaimplementować i wykazać prawidłowe działanie (np. za pomocą wyników testów) wskazanego przez prowadzącego algorytmu prekondycjonowania macierzy. (Jacobie lub SOR) - patrz podany niżej link w literaturze
  3. Wyznaczyć ile razy przyspiesza się zbieżność rozwiązania (liczba iteracji) po zastosowaniu prekondycjonera. Zweryfikować zbieżność macierzy użytej na drugich zajęciach po zastosowaniu prekondycjonera (jak zmienia się promień spektralny macierzy w kryterium zbieżności metody iteracyjnej po prekondycjonowaniu macierzy A).

Pliki do pobrania

  1. Implementacja metody gradientów sprzężonych: conjgrad.m (źródło: http://www.math.sc.edu/~meade/math706/MATLAB-files/index.html)

  2. Macierz 1: mac_1.m

  3. Macierz 2: mac_2.m

  4. Macierz 3: mac_3.m

  5. Macierz 4: mac_4.m

  6. Macierz 5: mac_5.mat

Literatura

Zadanie na dzień 6.11.2008

Dla grupy z dnia 06.11.2008: zadanie_3_20081106.pdf


2015-09-23 06:44