[WikiDyd] [TitleIndex] [WordIndex

1. ZE2103:A - Metody numeryczne w technice

1.1. Laboratorium 2 - Układy równań

Drugie laboratorium zostanie poświęcone rozwiązaniu zadania o treści:

Proszę przerobić program z poprzedniego ćwiczenia w taki sposób, że zamiast aproksymacji realizowanej za pomocą funkcji polyfit należy wykorzystać interpolację wielomianową, której współczynniki a_i powinny być wyznaczone poprzez rozwiązanie układu równań z macierzą Vanermonde'a.

Chodzi o, dla przykładu, rozwiązanie układu równań podobnego do poniższego (przy założeniu, że mamy cztery węzły interpolacji nasz wielomian interpolacyjny będzie 3 stopnia, więc potrzebujemy wyznaczyć cztery współczynniki a_i, gdzie i zawiera się w (1,4)):

 | 1  x_1   x_1^2  x_1^3 |   | a_1 |   | y_1 |
 | 1  x_2   x_2^2  x_2^3 | * | a_2 | = | y_2 |
 | 1  x_3   x_3^2  x_3^3 |   | a_3 |   | y_3 |
 | 1  x_4   x_4^2  x_4^3 |   | a_4 |   | y_4 |

gdzie niewiadomymi są współczynniki wielomianu interpolującego czyli elementy wektora a: a_1, a_2, a_3, a_4. Postać tego przykładowego wielomianu to

f(x) = a_1 + a_2 * x + a_3 * x^2 + a_4 * x^3 

Zadania do wykonania: 1) Rozwiązać układ równań Vandermonde'a za pomocą metody eliminacji Gaussa. 2) Rozwiązać układ równań Vandermonde'a wykorzystując dekompozycję LU (można wykorzystać funkcję w Matlabie o składni: [L,U,P] = lu(A); gdzie L = macierz dolnotrójkątna dekompozycji a U = macierz górnotrójkątna dekompozycji, P = macierz permutacji, czyli macierz zamian wierszy i kolumn).

W ramach ćwiczenia należy zrealizować następujący scenariusz:

  1. Zbudować macierz Vandermone'a za pomocą gotowej komendy w Matlabie: A = vander(U) (gdzie U to są dane węzły interpolacji z tabeli z poprzedniego ćwiczenia)
  2. Scalić utworzoną macierz A z wektorem prawych stron, czyli w naszym przypadku wektorem I, który odpowiada węzłom interpolacji z poprzedniego ćwiczenia) (np. Ab = [A b])

  3. Samodzielnie zaimplementować eliminację Gaussa (zgodnie z algorytmem podanym na wykładzie)
  4. Samodzielnie zaimplementować algorytm wstecznego podstawienia (zakładając, że macierz górno-trójkątną i wektor prawych stron).
  5. Wykorzystać funkcję Matlaba do dekompozycji lu - należy koniecznie pamiętać o macierzy permutacji i do dalszych obliczeń zmodyfikować wektor prawych stron b (pb = P*b, gdzie P - macierz permutacji zwrócona przez funkcję lu() w Matlabie)

  6. Samodzielnie zaimplementować wsteczne podstawienie ZSTĘPUJĄCE wykorzystując dolntrójkątną macierz L oraz wektor prawych stron (w naszym przypadku wektor I), uzyskując pośrednik wynik y
  7. Samodzielnie zaimplementować wsteczne podstaiwenia WSTĘPUJĄCE wykorzystując górnotrójkątną macierz U oraz uzyskany w poprzednim kroku wynik y
  8. Porównać wartości uzyskanych współczynników z rozwiązaniem Matlaba uzyskanym za pomocą wywołania a = A\I;
  9. Narysować wykresy przebiegów chwilowych napięcia, prądu i mocy podobnie jak w poprzednim ćwiczeniu.
  10. Obliczyć wartość mocy średniej i porównać z wynikami z poprzedniego ćwiczenia.

2015-09-23 06:53